Erklärung der Methode der gleichen Anteile
Auf dieser Seite erklären wir, wie die Methode der gleichen Anteile funktioniert. Die Methode kann mit zwei verschiedenen Arten von Wahlzetteln angewendet werden:
- Zustimmungsabstimmung, bei der jeder Wähler für einige der Projekte stimmt, aber für jedes von ihnen mit der gleichen "Stärke" stimmt. Beispielsweise darf der Wähler für bis zu 5 verschiedene Projekte stimmen.
- Punkteverteilung, bei der jeder Wähler jedem Projekt eine Punktezahl zuweist (0 oder höher). Beispielsweise darf der Wähler bis zu 10 Punkte auf die verschiedenen Projekte verteilen.
Eine Zustimmungsabstimmung ist ein Spezialfall von der Punkteverteilung, bei der alle Projekte die Punktezahl 0 oder 1 erhalten. Auf dieser Seite erläutern wir die Methode der gleichen Anteile basierend auf Zustimmungsabstimmungen.
Wenn Sie möchten, können Sie direkt unten ein detailliertes Beispiel verfolgen.
Die Methode
Wir beginnen mit den wichtigsten Grundsätzen der Methode und erläutern dann die technischen Details.
- Das Gesamtbudget wird in gleiche Anteile aufgeteilt und an die Wähler verteilt.
Angenommen, das Gesamtbudget ist Fr. 1 000 000 (1 Million), und es gibt 100 000 Wähler. Dann wird jedem Wähler ein Budgetanteil von Fr. 10 zugewiesen.
- Wir streichen alle Projekte, die mehr kosten als die kombinierten Anteile der Wähler, die für das Projekt gestimmt haben. Diese Projekte können nicht gewinnen.
Angenommen ein Projekt kostet Fr. 10 000, und es hat 500 Stimmen erhalten. Weil jedem Wähler ein Anteil von Fr. 10 zugeordnet wurde, haben diese 500 Wähler zusammen einen Budgetanteil von Fr. 5 000. Weil das Projekt mehr kostet als die Wähler haben, kann es nicht finanziert werden. Wir schließen das Projekt von der Auswahl aus.
- Wenn keine Projekte mehr übrig sind, ist die Berechnung der Methode abgeschlossen.
- Wenn Projekte übrig bleiben, berechnen wir die "effektive Stimmenzahl" für jedes Projekt.
Bei Zustimmungsabstimmungen ist die Stimmenzahl die Anzahl der Wähler, die für das Projekt gestimmt haben. Bei der Punktevergabe ist die Stimmenzahl die Summe der dem Projekt zugewiesenen Punkte. Die effektive Stimmenzahl ist kleiner als die Stimmenzahl, denn wir zählen nicht die Wähler, die nicht genug Geld haben, um einen gleichen Anteil für das Projekt zu zahlen.
- Wir wählen das Projekt mit der höchsten effektive Stimmenzahl aus. Das Projekt hat gewonnen. Wir verteilen die Kosten des Projekts so gleichmäßig wie möglich auf die Wähler auf, die für das Projekt gestimmt haben. Der Kostenanteil jedes Wählers wird von dem Budgetanteil des Wählers abgezogen.
- Wir wiederholen die Prezedur angefangen von Schritt 2, um das nächste gewinnende Proket zu finden.
Wie beschrieben, kann die Methode der gleichen Anteile in Schritt 3 enden, ohne das gesamte verfügbare Budget ausgegeben zu haben. Daher verwenden wir in Schritt 1 normalerweise ein Gesamtbudget, das größer ist als das tatsächlich verfügbare Budget. Dies geschieht, um ein besseres Ergebnis zu erzielen. Weitere Informationen hierzu finden Sie unter Vervollständigung.
Kosten gleichmäßig verteilen
Bei der Ermittlung der Gewinnerprojekte ist es wichtig, die Kosten eines Projekts so "gleichmäßig wie möglich" aufzuteilen. In diesem Abschnitt erklären wir, was das bedeutet.
Nehmen wir konkret an, das Gesamtbudget beträgt Fr. 300, und es gibt 10 Wähler. In Schritt 1 wird also jedem Wähler ein Budgetanteil von Fr. 30 zugewiesen. Wir können dies in der folgenden Abbildung darstellen, in der jeder Wähler durch einen Balken mit einer Höhe von Fr. 30 dargestellt wird.
Nehmen wir an, es gibt ein Projekt, das Fr. 50 kostet und 5 Stimmen von den 5 Wählern auf der linken Seite erhalten hat. Dann können wir die Kosten genau gleichmäßig verteilen, wobei jeder Unterstützer Fr. 10 zahlt. Wir können dies auf in der Abbildung wie folgt darstellen:
Es gibt einen etwas komplizierteren Fall, in dem einige der Wähler bereits einen Teil ihres Budgets ausgegeben haben und es daher nicht möglich ist, die Kosten eines Projekts vollkommen gleichmäßig auf die Befürworter zu verteilen.
Betrachten wir zum Beispiel wieder ein Projekt, das Fr. 50 kostet und 5 Stimmen von den 5 Wählern auf der linken Seite erhalten hat. Nehmen wir aber an, dass die Wählerin ganz links ihren gesamten Budgetanteil von Fr. 30 bereits in früheren Runden ausgegeben hat Dann können wir die Kosten für das Projekt nur auf die verbleibenden 4 Wähler verteilen, die nun jeweils Fr. 12.50 zahlen müssen (weil 4 · Fr. 12.50 = Fr. 50).
Oder ein anderes Beispiel: Nehmen wir an, die beiden Wähler auf der linken Seite haben nur noch Fr. 5 zur Verfügung (weil sie in den vorhergehenden Runden jeweils insgesamt Fr. 25 ausgegeben haben). Um die Kosten möglichst gleichmäßig zu verteilen, stellen wir diesen Wählern ihr gesamtes verbleibendes Budget in Rechnung, also insgesamt Fr. 5 + Fr. 5 = Fr. 10. Dann teilen wir die verbleibenden Kosten von Fr. 40 gleichmäßig auf die verbleibenden 3 Wähler auf, die jeweils Fr. 13.33 zahlen müssen (denn 3 · Fr. 13.33 = Fr. 40).
Um die Kosten so gleichmäßig wie möglich auf die Unterstützer aufzuteilen, wird im Allgemeinen wie folgt vorgegangen. Zunächst versuchen wir, die Kosten gleichmäßig aufzuteilen (d. h. wir dividieren die Kosten des Projekts durch die Anzahl der Unterstützer des Projekts). Wenn einige Wähler nicht genug Budget übrig haben, um diesen Kostenanteil zu decken, nehmen wir stattdessen so viel Geld wie möglich von diesen Wählern (nämlich ihr gesamtes verbleibendes Budget). Im nächsten Schritt versuchen wir dann, die verbleibenden Kosten gleichmäßig auf die verbleibenden Wähler aufzuteilen. Wenn dies wiederum nicht möglich ist, nehmen wir so viel Geld wie möglich von den Wählern, die nicht genug haben, und so weiter. (Eine alternative mathematische Beschreibung ist, dass wir die Kosten der Projekte so auf die Unterstützer aufteilen, dass die maximale Zahlung jedes Wählers so gering wie möglich ist).
Wie das funktioniert, können Sie an folgendem Beispiel ausprobieren: Die Kosten für ein Projekt (ursprünglich Fr. 30) werden auf 5 Wähler aufgeteilt, die es unterstützen. Diese Wähler haben jeweils ein Restbudget von Fr. 10, Fr. 10, Fr. 10, Fr. 20, Fr. 30. Sie können die Kosten des Projekts durch Ziehen des Schiebereglers ändern und sehen, wie die resultierenden Kosten so gleichmäßig wie möglich zwischen den 5 Wählern aufgeteilt werden würden.
Wenn in diesem Beispiel die Projektkosten Fr. 50 oder weniger betragen, können wir die Kosten vollkommen gleichmäßig aufteilen. Zwischen Fr. 50 und Fr. 80 können die drei Wähler mit einem verbleibenden Budget von Fr. 10 nicht den gleichen Teil der Kosten zahlen, also müssen die beiden anderen Wähler mehr zahlen. Wenn Sie den Schieberegler so verschieben, dass das Projekt mehr als Fr. 80 kostet, haben die Wähler nicht mehr genug Budget übrig, um das Projekt zu bezahlen. Deswegen würde das Projekt gestrichen werden, und kann also nicht finanziert werden.
Unser Logo ist von diesen Abbildungen inspiriert und soll an eine City-Skyline erinnern.
Berechnung der effektiven Stimmenzahl
Bei der Ermittlung der Gewinnerprojekte der Methode der gleichen Anteile müssen wir die so genannte effektive Stimmenzahl berechnen. In diesem Abschnitt wird erklärt, was das bedeutet.
Die wichtigste Regel ist, dass wir Wähler nicht zählen, wenn sie bereits ihren gesamten Budgetanteil ausgegeben haben. Der Grund für diese Regel ist, dass ein Wähler, der bereits seinen gesamten Budgetanteil ausgegeben hat, bereits mit den ausgewählten Projekten zufrieden ist. Daher ist es wichtiger, Projekte zu finanzieren, die anderen Wählern gefallen. Nehmen wir als Beispiel ein Projekt, das 50 Stimmen erhalten hat, aber 10 der Wähler, die für das Projekt gestimmt haben, haben bereits ihr gesamtes Budget ausgegeben. Dann beträgt die effektive Stimmenzahl für das Projekt 40.
Die zweite Regel besagt, dass Wähler, die noch Geld übrig haben, aber nicht genug Geld, um das Projekt zu bezahlen, wenn die Kosten gleichmäßig aufgeteilt werden, als Bruchteil zählen. Wenn ein Wähler zum Beispiel nur die Hälfte dessen hat, was die anderen zu einem Projekt beitragen können, zählt er als eine halbe Stimme. Wie man diesen Bruchteil berechnet, wird in den folgenden Beispielen erläutert.
Beispiel 1
Lassen Sie uns die Methode anhand eines kleinen Beispiels erläutern. Angenommen, das Gesamtbudget beträgt Fr. 1100 und es gibt 11 Wähler.
Es stehen 5 Projekte auf dem Stimmzettel, und wir nutzen die Zustimmungswahl. In der folgenden Tabelle sind die Projekte und ihre Kosten aufgeführt. Für jeden Wähler gibt es eine Spalte, in der alle Projekte aufgeführt sind, für die der Wähler gestimmt hat. Zum Beispiel hat der Wähler ganz links für den Fahrradweg und die Sportgeräte gestimmt.
| Projekt | Kosten | 👤 | 👤 | 👤 | 👤 | 👤 | 👤 | 👤 | 👤 | 👤 | 👤 | 👤 | Stimmenzahl |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 🚲 Fahrradweg | Fr. 700 | ✗ | ✗ | ✗ | ✗ | ✗ | ✗ | ✗ | 7 | ||||
| 🏋️ Sportgeräte | Fr. 400 | ✗ | ✗ | ✗ | ✗ | ✗ | ✗ | 6 | |||||
| 🌳 Neuer Park | Fr. 250 | ✗ | ✗ | ✗ | ✗ | ✗ | 5 | ||||||
| 🛝 Neuer Spielplatz | Fr. 200 | ✗ | ✗ | ✗ | ✗ | 4 | |||||||
| 📚 Kinderbücherei | Fr. 100 | ✗ | ✗ | ✗ | 3 |
Die meisten Städte verwenden eine einfache Methode, um die Gewinner der Bürgerbudgets auszuwählen: Sie gehen die Projekte einfach in der Reihenfolge der Stimmenzahl durch, und erklären so lange Projekte zum Gewinner, wie noch Budget übrig bleibt. In diesem Fall würden sie den 🚲 Fahrradweg (mit 7 Stimmen) und dann die 🏋️ Sportgeräte (mit 6 Stimmen) auswählen und dann aufhören, weil das Budget erschöpft ist. Man beachte, dass diese beiden "Sport"-Projekte von ungefähr denselben Wählern gewählt werden. Für die "Kinder"-Projekte (🛝 Neuer Spielplatz, 📚 Kinderbücherei) hat dagegen eine andere Gruppe von Wählern gestimmt, und diese Gruppe bleibt in diesem Ergebnis völlig unrepräsentiert.
Wie wir sehen werden, wird die Methode der gleichen Anteile den 🚲 Fahrradweg, dann den 🛝 Neuen Spielplatz, und dann die 📚 Kinderbücherei als Gewinnerprojekte auswählen.
Wir beginnen mit der Berechnung des Wahlergebnisses der Methode der gleichen Anteile, indem wir das Budget gleichmäßig unter den Wählern aufteilen. Jeder Wähler bekommt also einen Anteil von Fr. 100 zugewiesen.
Wir müssen jetzt die effektive Stimmenzahl für das Projekt mit den meisten Stimmen ermittel. Dies ist der 🚲 Fahrradweg mit 7 Stimmen.
In diesem Fall ist die effektive Stimmenzahl für den 🚲 Fahrradweg einfach 7. Alle anderen Projekte haben eine geringere effektive Stimmenzahl (denn die effektive Stimmenzahl ist immer geringer als die Stimmenzahl), und das nächst-beste Projekt (die 🏋️ Sportgeräte) haben eine Stimmenzahl von nur 6.
Deswegen wählt die Methode der gleichen Anteile den 🚲 Fahrradweg als das erste gewinnende Projekt aus. Die Methode teilt die Kosten des Projekts gleichmäßig auf die zustimmenden Wähler auf. Also müssen die 7 Wähler, die für den 🚲 Fahrradweg gestimmt haben, je Fr. 100 zahlen. Danach haben diese Wähler ihren gesamten Budgetanteil ausgenutzt.
Beachten Sie, dass alle 6 Leute, die für die 🏋️ Sportgeräte gestimmt haben, nun kein Budget mehr übrig haben. Deswegen sinkt die effektive Stimmenzahl dieses Projektes auf 0. Genau so haben 3 der 5 Leure, die für den 🌳 Neuen Park gestimmt haben, kein Budget mehr übrig. Deswegen sinkt effektive Stimmenzahl für den Park auf 2.
| Projekt | Kosten | 👤 | 👤 | 👤 | 👤 | 👤 | 👤 | 👤 | 👤 | 👤 | 👤 | 👤 | effektive Stimmenzahl |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 🏋️ Sportgeräte | Fr. 400 | — | — | — | — | — | — | 0 | |||||
| 🌳 Neuer Park | Fr. 250 | — | — | — | ✗ | ✗ | 2 | ||||||
| 🛝 Neuer Spielplatz | Fr. 200 | ✗ | ✗ | ✗ | ✗ | 4 | |||||||
| 📚 Kinderbücherei | Fr. 100 | ✗ | ✗ | ✗ | 3 |
Also hat jetzt der 🛝 Neue Spielplatz die höchste effektive Stimmenzahl mit 4. Wir können die Fr. 200, die der 🛝 Neue Spielplatz kostet, gleichmäßig auf die zustimmenden Wähler verteilen, so dass jeder dieser 4 Wähler Fr. 50 beiträgt:
Wir erklären den 🛝 Neuen Spielplatz zu einem gewinnenden Projekt, und ziehen die Zahlungen von den Budgetanteilen ab. Somit haben die 4 zustimmenden Wähler nun Fr. 50 übrig:
Die 📚 Kinderbücherei kostet Fr. 100. Die 3 Wähler, die dafür gestimmt haben, haben zusammen Fr. 150 übrig, also können sie sich dieses Projekt immer noch leisten. Jeder von ihnen zahlt Fr. 33.3.
Wir erklären die 📚 Kinderbücherei zu einem gewinnenden Projekt, und ziehen die Zahlungen von den Budgetanteilen ab. Die verbleibenden Budgetanteile sind:
Die verbleibenden Projekte können jetzt nicht mehr gewinnen, weil die zustimmenden Wähler nicht mehr genug Budget haben, um sich ein Projekt zu leisten. Also sind wir mit der Berechnung der Wahlgewinner fertig.
Endresultat: Die gewinnenden Projekte sind der 🚲 Fahrradweg, der 🛝 Neue Spielplatz, und die 📚 Kinderbücherei.
Beispiel 2 (komplizierter)
Die Berechnung des Ergebnisses wird deutlich komplizierter, wenn der Wähler ganz rechts für die 🏋️ Sportgeräte stimmt, aber nicht für den 🚲 Fahrradweg stimmt:
| Projekt | Kosten | 👤 | 👤 | 👤 | 👤 | 👤 | 👤 | 👤 | 👤 | 👤 | 👤 | 👤 | Stimmenzahl |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 🚲 Fahrradweg | Fr. 700 | ✗ | ✗ | ✗ | ✗ | ✗ | ✗ | 6 | |||||
| 🏋️ Sportgeräte | Fr. 400 | ✗ | ✗ | ✗ | ✗ | ✗ | ✗ | ✗ | 7 | ||||
| 🌳 Neuer Park | Fr. 250 | ✗ | ✗ | ✗ | ✗ | ✗ | 5 | ||||||
| 🛝 Neuer Spielplatz | Fr. 200 | ✗ | ✗ | ✗ | ✗ | 4 | |||||||
| 📚 Kinderbücherei | Fr. 100 | ✗ | ✗ | ✗ | 3 |
Es ist hilfreich, die Details durchzugehen.
Wie vormals, wird das verfügbare Budget gleichmäßig unter den Wählern aufgeteilt, und jeder erhält einen Anteil von Fr. 100:
We nehmen das Projekt mit der höchsten Stimmenzahl, welches diesmal die 🏋️ Sportgeräte sind (mit 7 Stimmen), und teilen die Kosten gleichmäßig unter den zustimmenden Wählern auf, wobei jeder Wähler Fr. 400/7 = Fr. 57.14 zahlt.
Die 🏋️ Sportgeräte sind gewählt, und wir ziehen die Zahlungen von den Budgetanteilen ab. Die verbleibenden Budgetanteile sind:
Das Projekt mit der nächst-höchsten Stimmenzahl ist der 🚲 Fahrradweg mit 6 Stimmen. Die 6 Wähler, die für den 🚲 Fahrradweg gestimmt haben, haben zusammen 6 · Fr. 43 = Fr. 258 übrig, was nicht genug ist, um den 🚲 Fahrradweg zu bezahlen, der Fr. 700 kostet. Daher ist der Fahrradweg nicht finanzierbar, und wir kennzeichnen dies, indem wir ihm eine effektive Stimmenzahl von 0 geben.
Also gehen wir zum Projekt mit der nächst-höchsten Stimmenzahl, welches der 🌳 Neue Park ist, mit 5 Stimmen. Wenn wir dessen Kosten von Fr. 250 gleichmäßig unter den zustimmenden Wählern aufteilen, müsste jeder der 5 Wähler Fr. 50 zahlen. Allerdings haben einige der zustimmenden Wähler nur noch einen Budgetanteil von Fr. 43 übrig, und können daher nicht Fr. 50 beitragen.
Wenn wir also die Kosten so gleichmäßig wie möglich aufteilen möchten (wie oben beschrieben), werden die 3 zustimmenden Wähler mit einem verbleibenden Budgetanteil von Fr. 43 jeweils Fr. 43 zahlen, und die 2 zustimmenden Wähler mit Fr. 100 teilen die verbleibenden Kosten von Fr. 250 − 3 · Fr. 43 = Fr. 121 gleich unter sich auf, so dass beide jeweils Fr. 60.5 zahlen:
Weil wir die Kosten des 🌳 Neuen Parks nicht komplett gleichmäßig aufteilen konnten, müssen wir die effektive Stimmenzahl des Projektes berechnen, wie folgt: Die 2 Wähler, die Fr. 60.5 beitragen können, zählen je als eine volle Stimme für den 🌳 Neuen Park. Die 3 Wähler, die Fr. 43 beitragen, zählen nur als Bruchteil einer Stimme, genauer gesagt jeweils als 0.7 Stimmen (weil Fr. 43/60.5 ≈ 0.7). Damit haben wir:
| Projekt | Kosten | 👤 | 👤 | 👤 | 👤 | 👤 | 👤 | 👤 | 👤 | 👤 | 👤 | 👤 | effektive Stimmenzahl |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 🚲 Fahrradweg | Fr. 700 | — | — | — | — | — | — | 0 | |||||
| 🌳 Neuer Park | Fr. 250 | ✗ | ✗ | ✗ | ✗ | ✗ | 4.1 | ||||||
| 🛝 Neuer Spielplatz | Fr. 200 | ✗ | ✗ | ✗ | ✗ | 4 | |||||||
| 📚 Kinderbücherei | Fr. 100 | ✗ | ✗ | ✗ | 3 |
(Die effektive Stimmenzahl für den 🛝 Neuen Spielplatz und die 📚 Kinderbücherei ist genau wie vorher, weil wir deren Kosten komplett gleichmäßig unter ihren zustimmenden Wählern aufteilen können.)
Obwohl seine effektive Stimmenzahl gesunken ist, ist der 🌳 Neue Park immer noch das Projekt mit der höchsten effektiven Stimmenzahl, und deswegen wählen wir ihn als gewinnendes Projekt aus. Wir ziehen die Kostenbeiträge von den Budgetanteilen ab. Jetzt sind die verbleibenden Budgets wie folgt:
In der nächsten Runde wird der 🛝 Neue Spielplatz gewählt werden, mit einer effektiven Stimmenzahl von 3.2 (was die höchste ist):
Nach dem Abziehen der Kostenbeiträge, verbleiben folgende Budgetanteile:
An dieser Stelle sind keine der verbleibenden Projekte mehr finanzierbar (insbesondere ist die 📚 Kinderbücherei nicht finanzierbar), weil die kombinierten Budgetanteile der jeweiligen zustimmenden Wähler, nicht ausreichen um die Projektkosten zu decken. Damit ended die Berechnung des Wahlergebnisses.
Endresultat: Die gewinnenden Projekte sind die 🏋️ Sportgeräte, der 🌳 Neue Park, und der 🛝 Neue Spielplatz.