Explication de la méthode des parts égales
Sur cette page, nous expliquons comment fonctionne la méthode des parts égales. Elle peut être utilisée avec deux types de bulletins de vote :
- Le vote par approbation, où chaque électeur vote pour un ou plusieurs projets, avec la même « intensité » pour chacun d'entre eux. Par exemple, on peut demander à l'électeur de sélectionner jusqu'à 5 projets. Pour plus de détails, vous pouvez consulter la page Wikipédia du Vote par Approbation.
- Le vote par valeurs, où chaque électeur attribue un certain nombre de points à chaque projet (éventuellement 0). Par exemple, on peut demander à l'électeur de répartir 10 points entre différents projets. Pour plus de détails, vous pouvez consulter la page Wikipédia du Vote par Valeurs.
Le vote par approbation est un cas particulier du vote par valeurs dans lequel on attribue 0 ou 1 point à chaque projet. Cette page présente la méthode pour le vote par approbation, plus d'informations sur le vote par valeurs sont à venir sous peu.
Vous pouvez aller directement à un exemple détaillé ci-dessous, si vous le souhaitez.
Mécanisme général
Nous commençons par présenter les principes de base de la méthode, les aspects techniques seront détaillés ensuite.
- Le budget global est divisé de manière égale entre les électeurs.
Supposons que le budget global soit de 1 000 000 € (1 million), et qu'il y ait 100 000 électeurs. Une part de 10 € est alors attribuée à chaque électeur.
- Tous les projets dont le montant est supérieur au total des parts du budget de tous leurs soutiens sont retirés du processus. (Dans le cas du vote par valeurs, nous retirons les projects pour lesquels la part combinée de tous les électeurs qui ont attribué un score supérieur à 0 au projet n'est pas suffisante.)
Supposons qu'un projet coûte 10 000 €, et que 500 électeurs l'ont sélectionné. Chaque électeur ayant une part de 10 €, ces 500 électeurs ont ensemble une part de 5 000 €. Comme le projet coûte plus que la part combinée de tous les électeurs qui l'ont sélectionné, il ne peut pas être financé. Nous le retirons donc du processus.
- Si jamais il ne reste aucun projet, le processus s'arrête à cette étape.
- S'il reste des projets, nous calculons le "nombre de votes pondéré" de chaque projet.
Pour le vote par approbation, le nombre de votes est le nombre d'électeurs qui ont sélectionné le projet. Pour le vote par valeurs, le nombre de votes est la somme des scores attribués au projet. Lors du calcul du nombre de votes pondéré, nous pondérons la contribution des électeurs en fonction de la part de budget qu'il leur reste.
- Le projet avec le nombre de votes pondéré le plus élevé est sélectionné. Le coût de ce projet est divisé aussi équitablement que possible entre les électeurs.
- Le processus est répété à partir de l'étape 2.
Telle que décrite ci-dessus, la méthode des parts égales peut se terminer à l'étape 3 sans avoir utilisé tout le budget. Pour éviter ce problème, il est possible d'utiliser un budget total plus grand que le budget effectivement disponible. De cette manière un meilleur résultat peut être obtenu. De plus amples informations pour compléter le résultat sont disponibles.
Comment diviser les coûts du projet de manière équitable
Lors du calcul du résultat de la méthode des parts égales, un élément clé est de diviser le coût d'un projet sélectionné aussi équitablement que possible (étape 5. ci-dessus). Toutes les explications nécessaires à ce propos sont présentées ci-dessous.
Pour faciliter les explications, concentrons-nous pour l'instant sur un exemple. Supposons que le budget total soit de 300 € et qu'il y ait 10 électeurs. À l'étape 1 présentée ci-dessus, chaque électeur se voit attribuer une part du budget de 30 €. L'image suivante présente cette situation initiale, chaque électeur étant représenté par une barre de hauteur 30 €.
À présent, imaginons qu'un projet coutant 50 € ait été sélectionné par les 5 électeurs situés à gauche de l'image. Dans ce cas, le coût de ce projet peut être réparti équitablement, chaque partisan payant 10 €. Cela nous amènerait donc à la situation suivante.
Cependant, la répartition du coût d'un projet n'est pas toujours aussi simple. Par exemple, si certains électeurs ont contribué à l'achat de certains projects, il peut être impossible de répartir le coût d'un projet de manière parfaitement égale.
Pour illustrer cette situation, considérons le même project que précédemment (coût de 50 €, sélectionné par les 5 électeurs situés à gauche de l'image), mais dans un scenario où l'électeur le plus à gauche de l'image a déjà utilisé toute sa part du budget. Dans ce cas, le coût du projet ne peut être réparti qu'entre les 4 électeurs restants, qui doivent donc chacun payer 12,50 € (parce que 4 x 12,50 € = 50 €). La situation serait donc la suivante.
Détaillons une autre situation, toujours pour le même projet. Supposons à présent que les deux électeurs à gauche de l'image n'aient que 5 € chacun à dépenser (car ils ont chacun déjà dépensé un total de 25 € lors des itérations précédentes). Pour répartir le coût de manière la plus équitable possible, ces électeurs doivent payer tout leur budget restant. Ceci finance 5 € + 5 € = 10 € du coût du projet. Le coût résiduel de 40 € doit ensuite être réparti équitablement entre les 3 électeurs restants. Chacun va donc payer 13,33 € (car 3 · 13,33 € = 40 €). La situation serait donc la situation suivante.
De manière générale, la procédure de répartition equitable des coûts fonctionne de la façon suivante. Nous essayons en premier lieu de répartir le coût du projet de manière égale (en le divisant par le nombre de partisans du projet). Si certains électeurs ne disposent pas d'un budget suffisant pour couvrir ce qu'ils devraient payer, ils paient autant que possible (c'est-à-dire la totalité de leur budget restant). La part non financée du projet est ensuite répartie de manière égale entre les électeurs restants. Si cela n'est toujours pas possible, les électeurs qui n'ont pas assez d'agent paient autant que possible, et le processus se répète.
En termes plus mathématiques, ce processus répartit le coût des projets entre leurs partisans de manière à ce que le paiement maximum de chaque électeur soit aussi faible que possible).
Pour mieux comprendre le processus, l'exemple suivant illustre la répartition du coût d'un projet de manière interactive. Le coût d'un projet (initialement de 30 €) est divisé entre 5 électeurs qui l'ont sélectionné. Ces électeurs ont un budget restant de 10 €, 10 €, 10 €, 20 €, 30 €, respectivement. Vous pouvez modifier le coût du projet en faisant glisser le curseur et voir comment le coût résultant serait réparti aussi équitablement que possible entre les 5 électeurs.
Dans cet exemple, si le coût du projet est de 50 € ou moins, alors son coût est réparti de manière parfaitement égale. Lorsqu'il est entre 50 € et 80 €, les trois électeurs avec un budget restant de 10 € ne peuvent pas payer une fraction égale du coût, les deux autres électeurs payent donc plus. Si jamais le coût excède 80 €, alors les électeurs n'ont simplement pas assez de budget restant pour financer le projet.
Notre logo est inspiré de ces visualisations, et évoque la silhouette d'une ville.
Calcul du nombre de votes pondéré
La seconde étape clé lors de la sélection des projects est le calcul du nombre de votes pondéré. Nous présentons les tous détails dans ce qu'il suit.
Le point le plus important est que nous ne comptons pas les électeurs qui ont déjà dépensé toute leur part du budget. En effet, un tel électeur est satisfait par les projets sélectionnés auparavant. Il est donc plus important de financer des projets que les autres électeurs ont sélectionnés.
À titre d'exemple, considérons un projet coûtant 30 € qui a été sélectionné par 5 électeurs, dont 2 qui ont déjà épuisé leur part de budget. Ici, le nombre de votes pondéré du projet est de 3. L'image suivante illustre cette situation.
Les rectangles orange indiquent que les 3 électeurs n'ayant pas encore utilisé tout leur budget contribuent chacun pour 1 au décompte pondéré des votes du projet, tandis que les 2 électeurs sans budget restant ne contribuent pas. Au total, le décompte des votes pondéré est de 3 (rectangle vert).
Le second élément du calcul du nombre de votes pondéré est que les électeurs qui contribuent moins que ce qu'ils devraient au coût d'un projet (parce qu'ils n'ont pas assez de budget restant) ne comptent que de manièrefractionnaire (d'où le qualificatif pondéré).
Par exemple, si les électeurs à qui il reste sufficient de budget paient chacun 10 € pour un projet, et qu'un autre électeur n'a que 5 € restant à contribuer au projet, ce dernier ne compte seulement que pour la moitié d'un vote. Ceci est illustré dans l'exemple suivant dans lequel le coût du projet est de 25 €.
Dans cet exemple, le troisième électeur à partir de la gauche ne compte que pour 0,5, ce qui donne un nombre de votes pondéré de 2,5.
Vous pouvez utiliser l'exemple interactif suivant pour mieux comprendre le calcul du nombre de votes pondéré. Il est intéressant de remarquer que ce nombre diminue lorsque le coût du projet augmente étant donné que certains électeurs n'ont pas assez de budget pour contribuer à parts égales lorsque le projet est coûteux.
Exemple 1
Cet exemple est aussi présenté via une vidéo YouTube [5 min, en anglais].
Illustrons le fonctionnement de la méthode des parts égales avec un petit exemple. Supposons que le budget total soit de 1100 €, et qu'il y ait 11 électeurs.
Cinq projets sont soumis au vote et le vote par approbation est utilisé. Le tableau suivant liste les projets ainsi que leur coût. Le bulletin de chaque électeur est représenté par une colonne. Par exemple, le premier électeur a sélectionné la piste cyclable et le gymnase en plein air.
| Projet | Coûts | 👤 | 👤 | 👤 | 👤 | 👤 | 👤 | 👤 | 👤 | 👤 | 👤 | 👤 | nombre de votes |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 🚲 piste cyclable | 700 € | ✗ | ✗ | ✗ | ✗ | ✗ | ✗ | ✗ | 7 | ||||
| 🏋️ gymnase en plein air | 400 € | ✗ | ✗ | ✗ | ✗ | ✗ | ✗ | 6 | |||||
| 🌳 nouveau parc | 250 € | ✗ | ✗ | ✗ | ✗ | ✗ | 5 | ||||||
| 🛝 nouvelle aire de jeux | 200 € | ✗ | ✗ | ✗ | ✗ | 4 | |||||||
| 📚 bibliothèque pour enfants | 100 € | ✗ | ✗ | ✗ | 3 |
La plupart des villes utilisent une méthode simple pour sélectionner les projects gagnants. L'idée générale de cette méthode est de sélectionner les projets dans l'ordre du nombre de votes. Pour notre exemple, les projets 🚲 piste cyclable (avec 7 votes) et 🏋️ gymnase en plein air (avec 6 votes), seraient sélectionnés. Il est intéressant d'observer que ces deux projets "sportifs" ont été sélectionnés par à peu près les mêmes électeurs. En revanche, les projets "enfants" (🛝 nouvelle aire de jeux et 📚 bibliothèque pour enfants) ont été sélectionné par un ensemble d'électeurs différent, qui restent non représentés dans le résultat final.
Comme nous le verrons par la suite, la méthode des parts égales sélectionnera la 🚲 piste cyclable, puis la 🛝 nouvelle aire de jeux, et enfin la 📚 bibliothèque pour enfants.
Dans le cas de la méthode des parts égales, nous commençons en répartissant le budget équitablement entre tous les électeurs. Chaque électeur se voit donc attribuer une part de 100 €, comme représenté ci-dessous.
Pour déterminer quel est le premier projet à être sélectionné, nous devons déterminer le nombre de votes pondéré pour le projet ayant obtenu le plus de votes, la 🚲 piste cyclable avec 7 votes. Si ce projet était sélectionné, la situation serait la suivante.
Dans ce cas, le nombre de votes pondéré de la 🚲 piste cyclable est de 7.
Tous les autres projets ont un nombre de votes pondéré inférieur à 7 (car le nombre de votes pondéré ne peut être inférieur au nombre de votes), et le projet suivant le plus populaire (le 🏋️ gymnase en plein air) n'a un nombre de votes que de 6. Ainsi, la méthode des parts égales sélectionne la 🚲 piste cyclable comme premier projet et divise son coût équitablement entre ses partisans. Les 7 électeurs qui ont sélectionné la 🚲 piste cyclable paient chacun 100 €, et n'ont donc plus de budget. La situatione est alors la suivante.
Puisqu'aucun des électeurs ayant sélectionné le 🏋️ gymnase en plein air n'a de budget restant, son nombre de votes pondéré est maintenant à 0. De même, 3 des 5 électeurs qui ont voté pour le 🌳 nouveau parc n'ont plus de budget. Son nombre de votes pondéré est donc de 2. La situation est la suivante.
| Projet | Coûts | 👤 | 👤 | 👤 | 👤 | 👤 | 👤 | 👤 | 👤 | 👤 | 👤 | 👤 | nombre de votes pondéré |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 🏋️ gymnase en plein air | 400 € | — | — | — | — | — | — | 0 | |||||
| 🌳 nouveau parc | 250 € | — | — | — | ✗ | ✗ | 2 | ||||||
| 🛝 nouvelle aire de jeux | 200 € | ✗ | ✗ | ✗ | ✗ | 4 | |||||||
| 📚 bibliothèque pour enfants | 100 € | ✗ | ✗ | ✗ | 3 |
Ainsi, le projet 🛝 nouvelle aire de jeux a le plus grand nombre de votes pondéré (4). Son coût de 200 € est donc réparti équitablement entre ses partisans, chacun payant 50 € :
Le projet 🛝 nouvelle aire de jeux est sélectionné, et nous soustrayons les paiements. Ses 4 partisans n'ont désormais plus que 50 € restants :
La 📚 bibliothèque pour enfants coûte 100 €. Les 3 électeurs qui l'ont sélectionné possèdent 150 €. Ce projet peut donc encore être financé, chaque partisan payant 33,3 €.
Le projet 📚 bibliothèque pour enfants est sélectionné, et nous soustrayons les paiements. La situation est donc comme suit.
Aucun des projets restants ne peut être payé avec les budgets de leurs partisans. Tous les projets gagnants ont donc été déterminés.
Résultat final : Les projets gagnants sont la 🚲 piste cyclable, la 🛝 nouvelle aire de jeux, et la 📚 bibliothèque pour enfants.
Exemple 2 (plus compliqué)
Le calcul s'avère un peu plus compliqué si l'on imagine que le dernier électeur vote pour le 🏋️ gymnase en plein air au lieu de la 🚲 piste cyclable :
| Projet | Coûts | 👤 | 👤 | 👤 | 👤 | 👤 | 👤 | 👤 | 👤 | 👤 | 👤 | 👤 | Nombre de votes |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 🚲 piste cyclable | 700 € | ✗ | ✗ | ✗ | ✗ | ✗ | ✗ | 6 | |||||
| 🏋️ gymnase en plein air | 400 € | ✗ | ✗ | ✗ | ✗ | ✗ | ✗ | ✗ | 7 | ||||
| 🌳 nouveau parc | 250 € | ✗ | ✗ | ✗ | ✗ | ✗ | 5 | ||||||
| 🛝 nouvelle aire de jeux | 200 € | ✗ | ✗ | ✗ | ✗ | 4 | |||||||
| 📚 bibliothèque pour enfants | 100 € | ✗ | ✗ | ✗ | 3 |
Comme précédemment, le budget disponible est divisé équitablement entre les électeurs, et chacun reçoit une part de 100 € :
Le premier projet à être sélectionné est celui avec le nombre de votes le plus élevé, qui est cette fois-ci le 🏋️ gymnase en plein air avec 7 votes. Son coût est divisé de manière égale entre ses partisans, chacun contribuant 400 €/7 = 57,14 €.
Après déduction des paiements, les budgets restants sont les suivants :
Une nouvelle itération commence, nous devons calculer le nombre de vote pondéré pour chacun des projets restants.
Commençons avec le projet avec le deuxième plus grand nombre de votes, la 🚲 piste cyclable qui a recueilli 6 votes. Les 6 électeurs le soutenant ont un total de 6 · 43 € = 258 € budget restant, ce qui n'est pas suffisant pour payer la 🚲 piste cyclable qui coûte 700 €. Ainsi, la piste cyclable ne peut pas être financée. Son nombre de votes pondéré est donc de 0.
Étudions donc le projet avec le nombre de votes suivant le plus élevé, qui est le 🌳 nouveau parc avec 5 votes. Si nous devions diviser son coût de 250 € de manière égale entre ses cinq partisans, chacun devrait payer 50 €. Cependant trois partisans n'ont plus qu'une part de budget de 43 €, et ne peuvent donc pas se permettre de payer 50 €. Ainsi (comme décrit ci-dessus), nous diviserions le coût du project de manière à ce que ces trois électeurs paient 43 € chacun, et que les deux partisans ayant une part de budget de 100 € divisent les 250 € − 3 · 43 € = 121 € restants de manière égale, de sorte que chacun paie 60,5 €. Le coût du 🌳 nouveau parc serait donc réparti de la manière suivante :
Le nombre de votes pondéré du 🌳 nouveau parc est donc de 4,13. En effet, les deux électeurs capables de payer 60,5 € chacun comptent comme un vote complet, tandis que les trois électeurs capables de payer 43 € chacun comptent seulement comme une fraction de vote, à savoir 0,71 chacun (car 43 €/60,5 ≈ 0,71). Le nombre de vote pondéré de chaque projet est donc :
| Projet | Coûts | 👤 | 👤 | 👤 | 👤 | 👤 | 👤 | 👤 | 👤 | 👤 | 👤 | 👤 | nombre de votes pondéré |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 🚲 piste cyclable | 700 € | — | — | — | — | — | — | 0 | |||||
| 🌳 nouveau parc | 250 € | ✗ | ✗ | ✗ | ✗ | ✗ | 4,13 | ||||||
| 🛝 nouvelle aire de jeux | 200 € | ✗ | ✗ | ✗ | ✗ | 4 | |||||||
| 📚 bibliothèque pour enfants | 100 € | ✗ | ✗ | ✗ | 3 |
(Le nombre de votes pondéré pour les projets 🛝 nouvelle aire de jeux et 📚 bibliothèque pour enfants est le même qu'auparavant, car leurs coûts peuvent être répartis de manière parfaitement équitable entre leurs partisans.)
Malgré la diminution de son nombre de votes pondéré, le 🌳 nouveau parc reste le projet avec le plus grand nombre de votes pondéré. Il est donc sélectionné et les paiements sont soustraits. Les budgets restants sont maintenant les suivants :
À l'itération suivante, la 🛝 nouvelle aire de jeux est sélectionnée, obtenant un compte de vote pondéré de 3,31 (qui est le plus élevé):
Après soustraction des paiements, les budgets restants sont les suivants :
À ce stade, aucun des projets restants (et en particulier la 📚 bibliothèque pour enfants) ne peut être financé en utilisant les budgets restants de leurs partisans. Tous les projets gagnants ont donc été déterminés.
Résultat final : Les projets gagnants sont le 🏋️ gymnase en plein air, le 🌳 nouveau parc et la 🛝 nouvelle aire de jeux.