Matematikai garanciák

Fordítás folyamatban

Ez az oldal még nem kész magyarul.

Összefoglalás: Az akadémiai szakirodalom kimutatta, hogy az egyenlő részvétel módszere garantálja, hogy a szavazók csoportjai megfelelő mértékű képviseletet kapjanak az eredményben. Továbbá biztosítja, hogy a projektek nyerjenek, amennyiben bizonyos minimális támogatást kapnak.

Az egyenlő részvétel módszerét matematikusok és informatikusok javasolták és fejlesztették ki, akik olyan matematikai tételeket bizonyítottak be, amelyek szerint a módszer meghatározott értelemben méltányosságot garantál a szavazók számára. Ezen az oldalon néhány eredményüket fogjuk leírni intuitív szinten és technikai értelemben egyaránt.

További információkért tekintse meg az alábbi forrásokat:

• A "Multi-Winner Voting with Approval Preferences" (2023) című könyv Martin Lackner és Piotr Skowron szerkesztésében, amely Open Access formában jelent meg a Springer kiadásában (ingyenes PDF letöltés). Ez a könyv elsősorban a "több nyertes választásokra" fókuszál, ahol feltételezzük, hogy minden projekt ugyanannyiba kerül.
• A "Proportional Participatory Budgeting with Additive Utilities" című tanulmány Dominik Peters, Grzegorz Pierczyński és Piotr Skowron tollából. Elérhető az arXiv-on.

Egy projekt garantáltan finanszírozásra kerül, ha elég "bullet" szavazatot kap a költségéhez viszonyítva

Az első matematikai garancia az egyes projektekre vonatkozik: biztosítva van, hogy finanszírozásra kerülnek, ha legalább egy minimális számú egyedi szavazatot kapnak.

Egy konkrét példához vegyünk egy projektet, amely a teljes rendelkezésre álló költségvetés 5%-át igényli. Ebben az esetben, ha a szavazók legalább 5%-a kizárólag erre a projektre szavaz, akkor ez a javaslat biztosan nyer az egyenlő részvétel módszere alapján.

Az alábbiakban formálisan is megfogalmazzuk ezt a tulajdonságot:

Tétel. Legyen $P$ egy projekt, és legyen $\text{cost}(P)$ a javaslat költsége. Tegyük fel, hogy $B$ a teljes költségvetés, és $n$ a szavazók száma. Ha legalább $n \cdot \text{cost}(P)/B$ szavazó kizárólag $P$-re szavaz, akkor $P$ biztosan a kiválasztott projektek között lesz az egyenlő részvétel módszere alapján.

Bizonyítás

Azok a szavazók, akik kizárólag $P$-re szavaztak, legalább $B/n$ költségvetési részesedést kapnak a módszer számításának kezdetén. (Ez több is lehet, mert a módszert kiegészítjük.)

Ezért a kizárólag $P$-re szavazókhoz rendelt költségvetési összeg legalább:

$$\underbrace{n \cdot \frac{\text{cost}(P)}{B}}_{\text{szavazók száma}} \cdot \underbrace{\frac{B}{n}}_{\text{költségvetési részesedés}} = \text{cost}(P).$$

Az egyenlő részvétel módszere csak akkor fejeződik be, ha több projektet már nem lehet támogatni a támogatóik révén. Ez azt jelenti, hogy $P$ biztosan a kiválasztott projektek között lesz, mert azok a szavazók, akik csak $P$-re szavaztak, megtartják minden pénzüket, amíg $P$ ki nem kerül a nyertes projektek közé, így $P$ mindig megfizethető.

A közösségi költségvetés hagyományos szavazási módszerével (amely egyszerűen a legnépszerűbb projekteket választja ki, amíg a költségvetés el nem fogy) nem biztosított hasonló garancia. Még egy nagyon költséghatékony projekt (például a költségvetés 1%-át igénylő) is jelentős számú szavazót (például több mint 30%-ot) igényelhet a győzelemhez a hagyományos módszerrel.

A garancia érvényesüléséhez szükséges, hogy a támogató szavazók csak az adott projektet támogassák, és ne más projekteket is, mert különben az egyenlő részvétel módszere úgy dönthet, hogy a szavazókat más általuk támogatott projektek kiválasztásával elégíti ki.

Hasonló szavazatokat leadó csoportok képviseletet kapnak az eredményben

Az egyenlő részvétel módszere szerint minden olyan szavazócsoport, amely hasonló projekteket támogat, elvárhatja, hogy az eredményben a csoport méretével arányosan képviselve legyen. Például egy szavazók 20%-át kitevő csoport elvárhatja, hogy a költségvetési kiadások 20%-ára befolyással legyen.

Ilyen szavazócsoportok lehetnek például egy adott iskola szülői közössége, egy adott városrész lakói vagy kerékpárral közlekedők. Az alábbi tulajdonságok biztosítják, hogy ezek a csoportok képviselve legyenek az eredményben (feltéve, hogy elegendő tagjuk van a közösen támogatott projektek költségének igazolásához).

Azonos szavazatokat leadó szavazócsoportok

Tegyük fel, hogy egy több X-es közösségi költségvetési választáson $t$ szavazó ugyanazt a szavazólapot adja le, azaz pontosan ugyanazokra a projektekre szavaz. Konkrétan, tegyük fel, hogy ezek a szavazók $P_1$, $P_2$ és $P_3$ projekteket támogatják. Intuitíve, mivel ez a csoport a szavazók $t/n$ arányát teszi ki, az eredményben a költségvetés $t/n$ arányának megfelelő képviseletet várhatnak el.

(Formális bizonyítás és további példák a dokumentumban követhetők.)

Átfedő szavazatokat leadó szavazócsoportok

Még ha a szavazócsoport tagjai nem is teljesen azonosan szavaznak, a módszer továbbra is arányos képviseletet biztosít. Az átfedések kezelésére vonatkozó matematikai garanciák részletezése szintén megtalálható.

Egyéb szavazási kritériumok

Az egyenlő részvétel módszere az alábbi alapvető szavazási kritériumoknak is megfelel:

• Polinomiális időben számítható
• Klónfüggetlenség
• Monotonicitás
• Kedvezményes monotonicitás
• Üres szavazólapoktól való függetlenség
• A D'Hondt-módszer általánosítása

Néhány más kritériumnak azonban nem felel meg:

• Pareto-optimalitás
• Költségvetési limit monotonitása
• Stratégiai manipulációmentesség