Matematikai garanciák

Összefoglalás: Az akadémiai szakirodalom is rámutatott, hogy az egyenlő részvétel módszere garantálja, hogy az eredmény a szavazók egyes csoportjait megfelelő mértékben (arányosan) reprezentálja. Ezen felül biztosítja, hogy egy ötlet mindenképp nyerjen, amennyiben bizonyos minimális exklúzív támogatást elér.

Az egyenlő részvétel módszerét matematikusok és informatikusok javasolták és fejlesztették ki, akik egyben olyan matematikai tételeket bizonyítottak be, amelyek szerint a módszer meghatározott értelemben méltányosságot garantál a szavazók számára. Ezen az oldalon néhány eredményüket fogjuk leírni intuitívabb módon és részletszinten egyaránt.

További információkért tekintsd meg az alábbi forrásokat:

• A "Multi-Winner Voting with Approval Preferences" (2023) című könyv Martin Lackner és Piotr Skowron szerkesztésében, amely Open Access formában jelent meg a Springer kiadásában (ingyenes PDF letöltés). Ez a könyv elsősorban a "több nyertes választásokra" fókuszál, ahol feltételezzük, hogy minden ötlet ugyanannyiba kerül.
• A "Proportional Participatory Budgeting with Additive Utilities" című tanulmány Dominik Peters, Grzegorz Pierczyński és Piotr Skowron tollából. Elérhető az arXiv-on.

Egy ötlet garantáltan finanszírozásra kerül, ha elég exlúzív ("bullet voting") szavazatot kap a költségéhez viszonyítva

Az első matematikai garancia az egyes ötletekre vonatkozik: biztosítva van, hogy finanszírozásra kerülnek, ha legalább egy minimális számú egyedi szavazatot kapnak.

Egy konkrét példához vegyünk egy ötletet, amely a teljes rendelkezésre álló költségvetés 5%-át igényli. Ebben az esetben, ha a szavazók legalább 5%-a kizárólag erre az ötletre szavaz, akkor ez a javaslat biztosan nyer az egyenlő részvétel módszerének használata mellett.

Az alábbiakban formálisan is megfogalmazzuk ezt a tulajdonságot:

Tétel. Legyen $P$ egy ötlet, és legyen $\text{cost}(P)$ a javaslat költsége. Tegyük fel, hogy $B$ a teljes költségvetés, és $n$ a szavazók száma. Ha legalább $n \cdot \text{cost}(P)/B$ szavazó kizárólag $P$-re szavaz, akkor $P$ biztosan a kiválasztott ötletek között lesz az egyenlő részvétel módszere alapján.

Bizonyítás

Azok a szavazók, akik kizárólag $P$-re szavaztak, legalább $B/n$ költségvetési részesedést kapnak a számítás kezdetén. (Ez több is lehet, mert a módszert kiegészítjük.)

Ezért a kizárólag $P$-re szavazókhoz rendelt költségvetési összeg legalább:

$$\underbrace{n \cdot \frac{\text{cost}(P)}{B}}_{\text{szavazók száma}} \cdot \underbrace{\frac{B}{n}}_{\text{költségvetési részesedés}} = \text{cost}(P).$$

Az egyenlő részvétel módszerének számítása csak akkor fejeződik be, ha több ötletet már nem lehet nyertessé nyilvánítani a támogatók "maradék pénze" révén. Ez azt jelenti, hogy $P$ biztosan a kiválasztott ötletek között lesz, mert azok a szavazók, akik csak $P$-re szavaztak, megtartják minden pénzüket, amíg $P$ be nem kerül a nyertes ötletek közé, így $P$ mindig megfizethető.

A közösségi költségvetés hagyományos szavazási módszerével (amely egyszerűen a legnépszerűbb ötleteket választja ki, amíg a költségvetés el nem fogy) nem biztosított hasonló garancia. Még egy nagyon költséghatékony ötlet (például a költségvetés 1%-át igénylő) is jelentős számú szavazót (például több mint 30%-ot) igényelhet a győzelemhez a hagyományos módszerrel.

A garancia érvényesüléséhez szükséges, hogy a támogató szavazók csak az adott ötletet támogassák, és más ötleteket ne, mert különben az egyenlő részvétel módszere úgy dönthet, hogy a szavazatokat más általuk támogatott ötletek kiválasztására használja fel.

Hasonló szavazatokat leadó csoportok képviseletet kapnak az eredményben

Az egyenlő részvétel módszere szerint minden olyan szavazócsoport, amely hasonló ötleteket támogat, elvárhatja, hogy az eredményben a csoport méretével arányosan képviselve legyen. Például egy szavazók 20%-át kitevő csoport elvárhatja, hogy a költségvetési kiadások 20%-ára befolyással legyen.

Ilyen szavazócsoportok lehetnek például egy adott iskola szülői közössége, egy adott városrész lakói vagy kerékpárral közlekedők. Az alábbi tulajdonságok biztosítják, hogy ezek a csoportok képviselve legyenek az eredményben (feltéve, hogy elegendő tagjuk van a közösen támogatott ötletek költségének "megfizetéséhez").

Azonos szavazatokat leadó szavazócsoportok

Tegyük fel, hogy egy több X-es közösségi költségvetési szavazáson $t$ szavazó ugyanolyan a szavazatot adja le, azaz pontosan ugyanazokra az ötletekre szavaz. Konkrétan, tegyük fel, hogy ezek a szavazók $P_1$, $P_2$ és $P_3$ ötleteket támogatják. Intuitíve, mivel ez a csoport a szavazók $t/n$ arányát teszi ki, az eredményben a költségvetés $t/n$ arányának megfelelő képviseletet várhatnak el.

(Formális bizonyítás és további példák a dokumentumban követhetők.)

Átfedő szavazatokat leadó szavazócsoportok

Még ha a szavazócsoport tagjai nem is teljesen azonosan szavaznak, a módszer továbbra is arányos képviseletet biztosít. Az átfedések kezelésére vonatkozó matematikai garanciák részletezése szintén megtalálható az említett forrásokban.

Egyéb szavazási kritériumok

Az egyenlő részvétel módszere az alábbi alapvető szavazási kritériumoknak is megfelel:

• Polinomiális időben számítható
• Klónfüggetlenség
• Monotonicitás
• Kedvezményes monotonicitás
• Üres szavazólapoktól való függetlenség
• A D'Hondt-módszer általánosítása

Néhány más kritériumnak azonban nem felel meg:

• Pareto-hatékonyság
• Monotonitás a költségvetési limitre
• Stratégiai manipulációmentesség (ez egy teljesíthetetlen kritérium)